Вращается вокруг вертикальной оси. В цилиндре, вращающемся вокруг вертикальной оси

Биомеханика человека – это составная часть прикладных наук, изучающих движение человека.

Плоскости .

Для обозначения положений тела человека в пространстве, расположения его частей относительно друг другу используют понятия о плоскостях и осях.

Сагиттальная плоскость разделяет правую и левую половины тела. Частным случаем сагиттальной плоскости является срединная плоскость, она проходит точно посередине тела, разделяя его на две симметричные половины. (на рис. красная, sagittal plane)

Фронтальная плоскость -отделяет переднюю часть тела от задней. Расположена вертикально и ориентирована слева направо. Перпендикулярна сагиттальной (на рис. синяя, coronal plane)

Горизонтальная плоскость - или поперечная плоскость, перпендикулярна двум первым и параллельна поверхности земли, она отделяет вышележащие отделы тела от нижележащих. (на рис. зеленая, transverse plane)

Эти три плоскости могут быть проведены через любую точку тела человека. При пересечении двух взаимно-перпендикулярных плоскостей образуется ось вращения.

Оси вращения :

Вертикальная ось – образуется при пересечении сагиттальной и фронтальной плоскостей. Направлена вдоль тела стоящего человека.

Вокруг этой оси возможны пронация, супинация, а также повороты туловища и головы.

Фронтальная ось – образуется при пересечении фронтальной и горизонтальной плоскостей. Ориентирована слева направо или справа налево. Вокруг этой оси происходит сгибание и разгибание.

Сагиттальная ось – образуется при пересечении сагиттальной и горизонтальной плоскостей. Ориентирована в переднезаднем направлении. Вокруг этой оси происходит отведение и приведение, поднимание и опускание лопаток, латеральное сгибание туловища.

Для анализа упражнений очень важно знать названия движений и понимать, в каких суставах они совершаются.

Названия движений :

Супинация-вращение наружу

Пронация-вращение внутрь

Аддукция-сведение,приведение

Абдукция-разведение, отведение

Циркумдуция-круговое вращение.

Сустав/сегмент тела	Возможные движения
позвоночник	Сагиттальная ось-латеральное сгибание\разгибание (наклоны в сторону) Фронтальная ось- сгибание\разгибание Вертикальная ось- вращение
Грудино-реберные суставы	неподвижные
Суставы головки ребер и реберно-поперечные суставы	Вращение по оси шейки ребра. Верхние рабра двигаются преимущественно вперед, нижние ребра преимущественно в стороны.
Грудино-ключичный сустав	Сагиттальная ось-поднимание\опускание плечевого пояса. Фронтальная ось- вращение ключицы вокруг своей оси Вертикальная ось- движение плечевого пояса вперед\назад
Плечевой сустав
Лучезапястный сустав	Сагиттальная ось-отведение\приведение Фронтальная ось- сгибание\разгибание
Тазобедренный сустав	Сагиттальная ось-отведение\приведение Фронтальная ось- сгибание\разгибание Вертикальная ось- пронация\супинация
Коленный сустав	Фронтальная ось- сгибание\разгибание Вертикальная ось- вращение (только при согнутом положении)
Голеностопный сустав	Фронтальная ось- сгибание\разгибание

Движения в суставах

ОБЩИЕ ДВИЖЕНИЯ	Плоскость	Описание	Пример
Отведение	Фронтальная	Движение, направленное от срединной линии тела	Отведение ноги в тазобедренном суставе
Приведение	Фронтальная	Движение, направленное к срединной линии тела	Приведение ноги в тазобедренном суставе
Сгибание	Сагиттальная	Уменьшение угла между двумя структурами	Подтягивание предплечья к плечу, сгибание рук с гантелями на бицепс
Разгибание	Сагиттальная	Увеличение угла между двумя структурами	Выпрямление руки, возвращение в исходно положение в том же упражнении
Вращение внутрь	Горизонтальная	Поворот кости вокруг вертикальной оси по направлению к срединной линии тела	Сведение рук на верхнем блоке
Вращение наружу	Горизонтальная	Поворот кости вокруг вертикальной оси по направлению от срединной; линии тела	Сведение пяток и разворот носков
Полное вращение	Все плоскости	Полный оборот конечности в плечевом или тазобедренном суставе	Круговое вращение руками
СПЕЦИФИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ
1. Голеностопный сустав
Подошвенное сгибание	Сагиттальная	Вытягивание носков	Подъем на носках стоя
Тыльное сгибание	Сагиттальная	Приведение пальцев ног к голени	Подъем на носках стоя (обратное движение)
2. Лучезапястный сустав
Пронация	Горизонтальная	Поворот предплечья ладонью вниз	Отвинчивание гайки
Супинация	Горизонтальная	Поворот предплечья ладонью вверх	Завинчивание гайки
3. Лопатки
Опускание	Фронтальная	Движение лопаток вниз	Стабилизация плечевого пояса, например, при выполнении «уголка» на предплечьях
Поднимание	Фронтальная	Движение лопаток вверх, например. при пожимании плечами	Жим гантелей сидя (движение вверх)
Разведение	Горизонтальная	Движение в стороны от позвоночника	Тяга блока к груди сидя (исходное положение)
Сведение	Горизонтальная	Движение к позвоночнику	Тяга блока к груди сидя (конечное положение)
Вращение внутрь	Фронтальная	Верхний край лопаток отклоняется наружу, а нижний - внутрь	Тяга блока вниз широким хватом
Вращение наружу	Фронтальная	Верхний край лопаток отклоняется внутрь, а нижний - наружу
4. Плечевой сустав
Горизонтальное отведение/разгибание	Горизонтальная	Движение поднятой в сторону руки назад	Разведение рук лежа на скамье
Горизонтальное приведение/сгибание	Горизонтальная	Движение поднятой в сторону руки вперед	То же упражнение, возвращение в исходное положение
5. Позвоночник
Боковое сгибание	Фронтальная	Отклонение туловища от вертикальной оси в сторону	Наклоны в стороны сидя на гимнастическом мяче

Во время тренировки происходит разрушение мышц, и далее они проходят фазы восстановления.

Согласно научным данным, имеется три основных фазы восстановления после тренинга:

· первая фаза – фаза восстановления, во время которой происходит репарация ткани, в течение этого периода функция восстанавливается до исходного уровня

· вторая фаза – суперкомпенсация, во время которой наблюдается повышенная работоспособность, которая может превысить исходный уровень на 10 - 20%

· третья фаза – фаза постепенного возвращения к исходному уровню работоспособности.

Чтобы решить проблему с рядом параметров, суперкомпенсация которых наступает в разные моменты, предлагается разделять тренировочную программу на микроциклы, где каждый микроцикл отвечает за развитие определенного параметра. Наиболее простое решение - сплит-тренировка , которую следует выполнять в разных режимах интенсивности. То есть, каждая группа мышц должна подвергаться тренировке с различной степенью интенсивности от одного занятия к следующему: легкий - средний - высокий - и так далее. Благодаря такому подходу есть возможность поддерживать разные параметры в фазе компенсации, и не допускать развитие адаптации к нагрузкам.

Тренировочное плато - это состояние организма спортсмена, при котором прекращается рост тех или иных физических параметров (силы, мышечной массы, выносливости и так далее) в следствие мышечной адаптации к стереотипным нагрузкам. Было четко доказано, что мышечная гипертрофия возникает только в том случае, если стимулирующий фактор является непривычным для мускулатуры. Под "непривычным фактором" понимается сверхнагрузка или нагрузка, которая превышает предыдущий уровень. Для создания сверхнагрузки в бодибилдинге используется простая методика: прогрессивное увеличение весов на каждой тренировке.

Горизонтально расположенный диск равномерно вращается вокруг вертикальной оси с частотой 0,5 с -1 . На расстоянии 0,2 м от оси вращения на диске лежит тело. Каков должен быть коэффициент трения между телом и диском, чтобы тело не скользило во время вращения диска?

Задача №2.4.6 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\nu=0,5\) с -1 , \(R=0,2\) м, \(\mu-?\)

Решение задачи:

На тело, находящееся на равномерно вращающемся диске, действуют 3 силы: сила тяжести, сила реакции опоры и сила трения. Причем последняя, если тело покоится относительно диска, является силой трения покоя. В задаче рассмотрим тот предельный случай, когда сила трения покоя принимает максимальное значение, т.е. когда она уже равна силе трения скольжения, но проскальзывания ещё нет.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось \(x\):

\[{F_{тр.п}} = m{a_ц}\;\;\;\;(1)\]

Учитывая все написанное в первом абзаце, сила трения покоя равна:

\[{F_{тр.п}} = \mu N\]

Из первого закона Ньютона в проекции на ось \(y\) следует, что:

Тогда максимальная сила трения покоя равна:

\[{F_{тр.п}} = \mu mg\;\;\;\;(2)\]

Центростремительное ускорение найдем из такой формулы с использованием угловой скорости вращения \(\omega\):

\[{a_ц} = {\omega ^2}R\]

Также запишем формулу связи угловой скорости и частоты вращения:

\[\omega = 2\pi \nu \]

\[{a_ц} = 4{\pi ^2}{\nu ^2}R\;\;\;\;(3)\]

Подставим выражения (2) и (3) в равенство (1), получим:

\[\mu mg = 4{\pi ^2}{\nu ^2}mR\]

Искомый коэффициент трения \(\mu\) равен:

\[\mu = \frac{{4{\pi ^2}{\nu ^2}R}}{g}\]

\[\mu = \frac{{4 \cdot {{3,14}^2} \cdot {{0,5}^2} \cdot 0,2}}{{10}} = 0,2\]

Ответ: 0,2.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра «Водоснабжение и водоотведение»

ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ ПОКОЙ ЖИДКОСТИ

в цилиндре, вращающемся вокруг вертикальной оси

Учебно-методическое пособие к выполнению

лабораторной работы №2

по дисциплине «Гидравлика»

для студентов специальностей

270112 «Водоснабжение и водоотведение»,

270102 «Промышленное и гражданское строительство»,

270205 «Автомобильные дороги»

всех форм обучения

Учебно-методическое пособие подготовлено в соответствии с действующей рабочей программой дисциплины «Гидравлика» и предназначено для развития навыков самостоятельной работы студентов.

Данное методическое пособие знакомит студентов с базовыми понятиями раздела «Гидростатика»

Составитель Лапшакова И.В., доц., канд. техн. наук

Рецензент Мартяшова В.А., доц., канд. техн. наук

© Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2012

1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

С относительным покоем жидкости во вращающихся сосудах приходится часто встречаться на практике (например, в сепараторах и центрифугах, применяемых для разделения жидкостей, а также в приборах для определения и регулирования чисел оборотов). При этом, как правило, решаются два типа задач. Первая задача связана с расчетом на прочность стенок сосуда. Для этого необходимо знать закон распределения давления в жидкости. Вторая задача связана с расчетом объема и габаритных размеров сосуда (например, жидкостного тахометра). В этом случае нужно уметь рассчитывать координаты точек свободной поверхности.

Жидкость находится в цилиндре, вращающемся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью вращения w.

При равномерном вращении цилиндра с жидкостью вокруг вертикальной оси жидкость через некоторое время начинает вращаться вместе с сосудом, т.е. приходит в состояние относительного покоя. В этом состоянии отсутствует смещение частичек жидкости относительно друг друга и стенок цилиндра, и вся массе жидкости с цилиндром вращается как твердое тело.

Для решения этих задач воспользуемся прямоугольной, жестко связанной с цилиндром системой координат. Начало ее расположим в точке пересечения дна цилиндра с его осью. Применим к жидкости основное уравнение гидростатики в дифференциальной форме:

гдеdP – полный дифференциал давления в данной точке;

X, Y, Z – проекции единичных массовых сил (проекции ускорений) на соответствующие оси координат;

r – плотность жидкости.

Возьмем во вращающейся жидкости частицу А (рис.1), находящуюся на расстоянии r от оси вращения цилиндра. На эту частицу перпендикулярно оси Z действует центробежная сила инерции с ускорением w 2 r , проекция которого на ось X

Рисунок 1 – Расчетная схема

Аналогично на ось ОУ

Вдоль оси OZ действует ускорение Z=-g

Подставим найденные значения X, Y, Z в уравнение (1)

Интегрируя (2), найдем

(3)

Полагая , получим из выражения (3) уравнение изобарических поверхностей

. (4)

Как видно, эти поверхности представляют собой конгруэнтные параболоиды вращения с осью Z, во всех точках которых давление неизменно. Такие поверхности называют поверхностями уровня. Одной из них является свободная поверхность жидкости. Обозначим через z 0 координату вершины параболоида свободной поверхности(см. рис. 1). Так как в вершине параболоида

уравнение свободной поверхности запишется в виде

, (5)

где z сп – координата свободной поверхности жидкости.

Учитывая, что

,

. (6)

,

Высота параболоида

Угловая скорость вращения

Подставив (8) в выражение (7) найдем число оборотов

Следовательно, врезающийся цилиндр, частично заполненный жидкостью, можно использовать как счетчик оборотов (тахометр).

Такие жидкостные тахометры имели очень широкое распространение до создания электрических и электронных тахометров, обладающих целым рядом преимуществ перед жидкостными.

Если в цилиндре внешнее давление равно p 0 то, задавая в уравнении (3)

находим постоянную интегрирования

Тогда закон распределения давления в жидкости выразится формулой

. (10)

Для произвольной точки М, находящейся ниже координаты z 0 , давление определится

,

Так как величина , равная h м (см. рис. 1), представляет собой глубину погружения точки М под свободную поверхность, то можно записать

, (11)

Т.е. в этом случае справедлив линейный (гидростатический) закон распределения давления по глубине, которая отсчитывается от криволинейной, свободной поверхности.

2. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

2.1. Визуальное наблюдение формы свободной поверхности жидкости во вращающемся цилиндре.

2.2. Изучение закономерностей относительного покоя, необходимых для конструирования центрифуг, жидкостных тахометров и других устройств.

2.3. Оценка точности показаний жидкостного тахометра.

3. ОПИСАНИЕ ОПЫТНОЙ УСТАНОВКИ

Установка (рис.2) состоит из стеклянного цилиндра2, вставленного в обойму 1. Цилиндр приводится во вращение через клиноременную передачу от электродвигателя, который подключен к электросети через реостат, что позволяет изменять число оборотов двигателя. Рядом с цилиндром расположена координатная линейка 3 с подвижной измерительной иглой 4, при помощи которой измеряются координаты z н и z 0 . Для определения числа оборотов цилиндра установлен частотомер. Кроме того, число оборотов может быть определено по числу щелчков, производимых иглой 5 при задевании ею выступа на диске 6.

Рисунок 2 – Схема установки

4. ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ РАБОТЫ

4.1. Залить цилиндр подкрашенной жидкостью примерно на 1/3 его высоты.

4.2. Замерить радиус цилиндра R и уровень жидкости в нем z н .

4.3. Включить двигатель. Движком реостата установить такие обороты цилиндра, при которых высота параболоида будет максимальной. При этом нужно проследить, чтобы вершина параболоида не касалась дна цилиндра или вода не переливалась через его верх.

4.4. Дождаться (здесь очень важно не спешить, иначе точность замеров будет мала), когда установится относительный покой жидкости в цилиндре, т.е. высота параболоида перестанет изменяться и замерить координату z 0 с помощью координатной линейки.

4.5. Определить число оборотов по показанию счетчика или числу щелчков в единицу времени.

4.6. Немного уменьшить с помощью реостата обороты двигателя. Повторить замеры по пунктам 4.4 и 4.5.

4.7. Произвести 5-6 опытов при различных числах оборотов.

4.8. Результаты измерений занести втаблицу.

5. РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

5.1. Определить разность показаний z н – z 0 .

6.2. Определить число оборотов по формуле (9).

6.3. Вычислить число оборотов цилиндра по щелчкам (счетчику оборотов).

6.4. Определить ошибку путем сравнения вычисленного числа оборотовп т , с замеренным п:

6.5. Результаты расчетов занести в таблицу.

Таблица 1

Результаты расчетов

6.1. Записать цель работы.

6.2. Зарисовать и описать установку.

6.3. Записать расчетные формулы.

6.4. Привести заполненную таблицу наблюдений и вычислений.

6.5. Сделать вывод о проделанной работе, оценив погрешность измерения числа оборотов жидкостным тахометром.

7. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

7.1. Что такое относительный покой?

7.2. Какие силы действуют на жидкость, находящуюся в состоянии относительного покоя в цилиндре, вращающемся вокруг вертикальной оси?

7.3. Запашите основное уравнение гидростатики в дифференциальной форме. Что такоеХ, Y, Z ?

7.4. Что называется единичной массовой силой? Каковее физический смысл?

7.5. Почему при оценке Х, Y, Z мы не учитываем ускорение Кориолиса?

7.6. Что такое поверхность уровня?

7.7. Запишите дифференциальное уравнение свободной поверхности жидкости?

7.8. Как определить давление в любой точке жидкости, расположенной ниже свободной поверхности в сосуде, вращающемся вокруг вертикальной оси

7.9. Как изменятся форма свободной поверхности, если при неизменном числе оборотов заменить воду ртутью; бензином, вязким машинным маслом? Какое влияние на форму свободной поверхности оказывают вязкость и плотность жидкости?

7.10. Где в технике применяется закономерность относительного покоя? Какие параметры устройств могут быть рассчитаны по этим закономерностям?

7.11. Как будет выглядеть форма свободной поверхности во вращающемся заполненном жидкостью и закрытом цилиндре? Как будет распределяться давление по дну и крышке такого цилиндра?

7.12. Как определить давление в любой точке вращающейся кольцевой массы жидкости, расположенной между двумя цилиндрическими поверхностями?

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Штеренлихт, Д. В. Гидравлика [Текст] : учеб. для вузов / Д. В. Штеренлихт. - 3-е изд., перераб. и доп. - М. : КолосС, 2007. - 656 с. : ил. - (Учебники и учебные пособия для студентов вузов).

МЕТОД ВРАЩЕНИЯ. ВРАЩЕНИЕ ВОКРУГ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ОСИ

Наименование параметра	Значение
Тема статьи:	МЕТОД ВРАЩЕНИЯ. ВРАЩЕНИЕ ВОКРУГ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ОСИ
Рубрика (тематическая категория)	Геология

ПРОЕКЦИИ С ЧИСЛОВЫМИ ОТМЕТКАМИ. МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА

При решении метрических задач, в первую очередь связанных с определœением величин линœейных углов, истинных размеров плоских фигур, а также при решении многих других позиционных задач возникает крайне важно сть изменить положение рассматриваемого объекта в пространстве, чтобы он проецировался на плоскость проекций без искажения, т. е. в натуральную величину. В проек­циях с числовыми отметками наиболее удобен в данном отношении метод вращения.

Сущность метода вращения состоит по сути в том, что расположение изображаемой фигуры изменяется посредством ее поворота вокруг некоторой оси так, чтобы фигура относительно плоскости проекций заняла удобное для решения задачи положение. При решении задач методом вращения крайне важно помнить следующие положения (рис. 4.1):

Рис. 4.1 Рис. 4.2

1) точка А при вращении вокруг некоторой оси i перемещается в плоскости Т, которую условимся называть плоскостью вращения и которая расположена перпендикулярно к этой оси;

2) траекторией движения точки является окружность, центр которой определяется как точка К. пересечения плоскости Т с осью вращения;

3) радиус АК окружности перпендикулярен к оси вращения. При вращении точки В (рис. 4.2) вокруг вертикальной оси точка описывает в горизонтальной плоскости Г окружность радиуса ВК, которая на плоскость проекций По проецируется без искажения. В случае если точку В повернуть вокруг оси i на угол b, то и проекция точки на плане переместится по дуге окружности на такой же угол и займет положение B 2 . На рис. 4.3 рассматривается случай вращения точки А вокруг вертикальной оси i до совмещения ее с плоскостью S. Точка A будет принадлежать плоскости S при условии, в случае если она при вращении окажется расположенной на горизонтальной плоскости с той же числовой отметкой, что и у точки А.

Строим линию пересечения плоскости вращения Г с плоскостью Σ - h 5,5 проводим из центра вращения точки К 5,5 дугу окружности радиуса К 5,5 А 5,5 . До пересечения с горизонталью h 5,5 . Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, точка А после поворота займет положение А 5,5 и А 5,5 .

На рис. 4.4 рассматривается случай вращения плоскости Λ (т ∩ n) вокруг вертикальной оси i до совмещения ее с заданной точкой F. Плоскость Λ будет проходить через точку F при условии, в случае если ее горизонталь с отметкой 5 м после поворота будет проходить через эту точку. Заметим также, что при вращении плоскости вокруг оси i ее угол падения не изменит своей величины. Проинтерполировав прямые т и п, строим горизонталь плоскости Λ с отметкой 5 м, которая при вращении плоскости будет перемещаться в горизонтальной плоскости, отметка которой равна 5 м. На горизонтали h 5 находим точку Е, ближе других расположенную к оси вращения i. Отрезок ЕК является радиусом окружности, по которой точка Е перемещается при вращении вокруг оси i . Через точку F 5 , проводят касательную к окружности - h 5 . Касательная h 5 является проекцией искомой горизонтали плоскости, проходящей через точку F после поворота плоскости на угол γ. Проекции пересекающихся прямых т и п строят, исходя из условия сохранения вращаемой плоскостью величины угла падения. Следует отметить, что задача имеет второе решение, так как через точку F 5 можно провести вторую касательную к окружности п.

МЕТОД ВРАЩЕНИЯ. ВРАЩЕНИЕ ВОКРУГ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ОСИ - понятие и виды. Классификация и особенности категории "МЕТОД ВРАЩЕНИЯ. ВРАЩЕНИЕ ВОКРУГ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ОСИ" 2017, 2018.

В случае равномерного вращения цилиндрического сосуда вокруг вертикальной оси с угловой скоростью со (рис. 1.5) вектор напряже­ния массовых сил

а уравнение Эйлера (1.10) имеет вид

dp = r [w 2 (xdx +ydy) – gdz ] = r (w 2 rdr – gdz). (1.52)

Уравнение свободной поверхности (р = р 0)

(1.53)

Уравнение любой изобарической поверхности (р = const)

(1.54)

где z 0 - координата точки пересечения свободной поверхности с осью вращения.

Изобарические поверхности - параболоиды вращения, ось которых совпадает с осью оz , а вершины смещены вдоль этой оси. Форма изоба­рических поверхностей не зависит от плотности жидкости.

Высота параболоида свободной поверхности (R - радиус сосуда)

H = w 2 R 2 /2g. (1.55)

Координата z 0 его вершины определяется объемом жидкости в сосу­де. Если начальный уровень в сосуде h 0 , то

z 0 = h - (1.56)

откуда h 1 = h 0 –z 0 = H/2.

Закон распределения давления в жидкости

(1.57)

Рис. 1.5. Цилиндрический сосуд с жидкостью, вращающийся с постоян­ной угловой скоростью w

Изменение давления по вертикали (h - глубина точки под свобод­ной поверхностью) :

Р = Р 0 + r gh,

т.е. такое же, как в неподвижном сосуде.

Вопросы по теме 1.6.

1 . Какие силы действуют на жидкость при ее относительном покое?

2. Каковы форма изобарических поверхностей в жидкости и описы­вающее их уравнение при прямолинейном движении сосуда с постоян­ным ускорением?

3. Каковы форма изобарических поверхностей в жидкости и описы­вающее их уравнение при вращении сосуда с постоянной угловой ско­ростью и вертикальной осью вращения?

3. Каков закон распределения давления в жидкости по вертикали при ее относительном покое?

Основные понятия кинематики и динамики жидкости

Скорость частицы жидкости зависит от координат х, у, z этой частицы и времени t, т.е.

Плотность r и давление р также являются функциями координат и времени

r = r (x, y, z, t); p = p (x, у, z, t).

Если характеристики течения не зависят от времени, т.е. могут изме­няться лишь от точки к точке, то течение называется установившимся. Если в данной точке пространства характеристики течения изменяются со временем, то течение называется неустановившимся.

Линией тока называется линия, в каждой точке которой вектор скорости направлен по касательной к этой линии. Уравнения для линий тока имеют вид

(2.1)

где и х, и y , u z - составляющие вектора скорости .

Совокупность линий тока, проходящих через замкнутый контур L, образует трубчатую поверхность - трубку тока. Жидкость, находя­щаяся внутри трубки тока, образует струйку. Если контур L мал, то трубка тока и струйка называются элементарными.

Сечение струйки s , нормальное в каждой своей точке к линиям то­ка, называется живым сечением.

Область пространства конечных размеров, занятая движущейся жидкостью, называется потоком. Поток обычно рассматривается как совокупность элементарных струек. Живое сечение потока определяется так же, как в случае элементарной струйки.

Гидравлический радиус R г живого сечения определяется как отношение площади живого сечения s к смоченному периметру c , т.е.

R г = s/c. (2.2)

Под смоченным периметром c понимается та часть геометри­ческого живого сечения, по которой жидкость соприкасается с твердыми стенками.

Если форма и площадь живого сечения по длине потока не изменяют­ся, то поток называется равномерным. В противном случае поток на­зывается неравномерным. В том случае, когда живое сечение плавно изменяется по длине, течение называется плавно изменяющимся.

В живом сечении 1 - 1 (рис. 2.1) равномерного потока выполняется гидростатический закон распределения давления, т.е.

(2.3)

где р А, р B - соответственно давления в произвольных точках А и В (с вертикальными координатами z a , z b) этого сечения; g - ускоре­ние свободного падения. В случае плавно изменяющегося течения ра­венство (2.3) выполняется приближенно.

Расходом жидкости через поверхность s называется количество жидкости, протекающей через эту поверхность _в единицу времени. Объемный расход Q, массовый расход Q М > весовой расход q G определяются по формулам

где и n - проекция скорости на нормаль к поверхности s.

Если s - живое сечение, то и п = u . Для однородной жидкости

Q m = rQ (2.5)

Рис. 2.1. Живое сечение равномерного потока

Средняя скорость u определяется из равенства

u=Q/s. (2.6)

Уравнение неразрывности для потока несжимаемой жидкости имеет вид

Q = u 1 s 1 = u 2 s 2 , (2.7)

где u 1 , u 2 - средние скорости в сечениях 1 - 1 и 2 - 2.

Уравнение Бернулли для элементарной струйки вязкой несжимае­мой жидкости при установившемся движении в поле силы тяжести имеет вид

где z 1 , z 2 - расстояния от центров выбранных живых сечений 1 - 1 и 2 - 2 до некоторой произвольной горизонтальной плоскости z = 0 (рис. 2.2); u 1 , u 2 - скорости; P 1 ,P 2 -давления в этих сечениях; h 1-2 - потери напора на участке между выбранными сечениями.

Уравнение Бернулли выражает собой закон сохранения механичес­кой энергии. Величина

(2.9)

называется полным напором и представляет собой удельную (прихо­дящуюся на единицу силы тяжести) механическую энергию жидкости в рассматриваемом сечении; z - геометрический напор или удельная потенциальная энергия положения; p/(rg) - пьезометрический напор или удельная потенциальная энергия давления; u 2 /(2g) - скоростной напор или удельная кинетическая энергия; h 1-2 - потери напора, т.е. часть удельной механической энергии, израсходованной на работу сил трения на участке между сечениями 1 - 1 и 2 - 2 (см. рис. 2.2).

В случае идеальной жидкости h 1-2 =0 .

Для плавно изменяющегося потока при установившемся движении вязкой несжимаемой жидкости в поле силы тяжести уравнение Бернул­ли имеет вид

где p 1 , p 2 - давления в произвольно взятых точках сечений 1 - 1 и 2 - 2 скоординатами z 1 и z 2 соответственно (обычно берутся точки на оси потока); u 1 , u 2 - средние скорости в этих сечениях; а 1 , а 2 - коэффи­циенты Кориолиса, учитывающие неравномерность распределения ско­ростей частиц жидкости в сечениях; при течении по круглой цилиндри­ческой трубке a = 2 для ламинарного режима течения и a » 1,1 - для турбулентного; при решении практических задач обычно принимается a = 1 .

При использовании уравнения Бернулли (2.8) или (2.10) необходи­мо иметь в виду, что номера сечений возрастают в направлении течения жидкости. В качестве расчетных выбираются такие сечения (струйки) , в которых известны какие-либо из величин u 1 , u 2 (u 1 , u 2) и р 1 , р 2 .

Плоскость z = 0 бывает удобно располагать таким образом, чтобы центр одного из выбранных сечений потока лежал в этой плоскости.

Потери напора h 1-2 , отнесенные к единице длины трубопровода, называются гидравлическим уклоном:

(2.11)

В случае равномерного движения несжимаемой жидкости

i = h l -2 / l, (2.12)

где l - расстояние между выбранными сечениями.

При движении жидкости по трубопроводу различают два вида потерь напора: потери по длине трубопровода h д и потери в местных сопротив­лениях h м. К потерям по длине относят потери на прямолинейных участ­ках трубопровода, а к потерям на местных сопротивлениях - потери на таких участках трубопровода, где нарушается нормальная конфигурация потока (внезапное расширение, поворот, запорная арматура и т.д.) .

Вопросы по теме 2.

1. Что называется линией тока?

2. Может ли жидкость протекать сквозь боковую поверхность труб­ки тока?

3. Что называется живым сечением потока?

4. Чем отличается уравнение Бернулли для струйки тока от уравне­ния Бернулли для потока?

5. Что такое гидравлический уклон?

6. Как определяется средняя скорость потока?

7. Какая связь между объемным, массовым и весовым расходами?

8. Как изменяются по длине неравномерного потока несжимаемой жидкости расход и средняя скорость?